Poche fu scelto dagli Angels nel secondo giro del draft del 1986. Ha fatto il suo debutto in Major League con gli Angels nel 1989 e ha trascorso la maggior parte delle tre stagioni successive con la squadra. Nel 1992 fu ceduto ai Reds, dove trascorse le quattro stagioni successive. Ha concluso la sua carriera nella Major League con i Padres nel 1996.
Nel complesso, Poche ha registrato un record di 53-52 con un'ERA di 4,26 in 157 partite in carriera. Ha eliminato 535 battitori in 923 inning lanciati.
Dopo essersi ritirato dal baseball, Poche è diventato un allenatore di lanciatori. Ha lavorato nei sistemi della lega minore degli Angels, dei Reds e dei Seattle Mariners. Attualmente è l'allenatore dei lanciatori dei Louisville Bats, la squadra Triple-A dei Cincinnati Reds.