Palmer è nato a Cedar Falls, Iowa, e si è laureato in architettura all'Università dell'Illinois nel 1919. Si trasferì a Oak Park, Illinois nel 1921 e fu coinvolto nel movimento scolastico di Prairie. Lavorò per Frank Lloyd Wright per un breve periodo prima di aprire il proprio studio nel 1922.
I progetti di Palmer furono influenzati da Wright, ma sviluppò anche il suo stile unico. Era noto per il suo uso di forme semplici, materiali naturali e planimetrie aperte. Inoltre incorporava spesso elementi della natura nei suoi progetti, come giardini, terrazze e piscine.
Palmer ha progettato oltre 1.000 case e altri edifici durante la sua carriera. Molte delle sue opere si trovano nell'area di Chicago, ma ha realizzato progetti anche in altre parti degli Stati Uniti e del Canada. Alcune delle sue opere più importanti includono la Palmer House (1927), la Winnetka Community House (1928) e il Chicago Botanic Garden (1940).
Palmer è stato anche professore di architettura presso l'Illinois Institute of Technology dal 1945 al 1968. È stato membro dell'American Institute of Architects e ha ricevuto numerosi premi per il suo lavoro, tra cui la medaglia d'oro AIA nel 1967.
Palmer morì a Oak Park, Illinois, nel 1978. La sua eredità continua attraverso il suo lavoro, considerato uno dei migliori esempi di architettura scolastica di Prairie.