Begay è nato a Tuba City, in Arizona, l'11 gennaio 1954. È cresciuto nella riserva Navajo, dove ha imparato la cultura tradizionale Navajo dai suoi genitori e nonni. Begay iniziò a disegnare e dipingere in giovane età e presto si rese conto di avere un talento per l'arte.
Dopo il diploma di scuola superiore, Begay ha studiato arte presso l'Institute of American Indian Arts di Santa Fe, nel New Mexico. Ha poi frequentato l'Università dell'Arizona, dove ha conseguito una laurea in Belle Arti.
I dipinti di Begay raffigurano una varietà di soggetti, tra cui cerimonie Navajo, rituali e vita quotidiana. Il suo lavoro è caratterizzato da colori vibranti, motivi intricati e un forte senso di spiritualità. I dipinti di Begay sono stati elogiati per la loro bellezza, il loro significato culturale e la loro capacità di catturare l'essenza della vita Navajo.
Il lavoro di Begay è stato esposto in musei e gallerie di tutto il mondo, tra cui lo Smithsonian Institution, l'Heard Museum e il Museum of Modern Art. Ha anche ricevuto numerosi premi, tra cui il National Endowment for the Arts Fellowship, l'Arizona Governor's Arts Award e i Native American Art Awards.
Il lavoro di Begay continua a ispirare ed educare gli spettatori sulla cultura Navajo. È considerato uno dei più importanti artisti nativi americani della sua generazione.
Begay è morto di cancro il 17 agosto 2012 a Tuba City, in Arizona. Aveva 58 anni.